研究分野
数値解析, 計算機援用証明, 無限次元力学系
キーワード
精度保証付き数値計算, スペクトル法, 有限要素法, 半群理論, 偏微分方程式, 遅延微分方程式, 常微分方程式, 複素微分方程式, 微分方程式の爆発解
概要
数値計算に生じるすべての誤差を把握し、数学的に正しい結果を数値計算によって導く計算法を「精度保証付き数値計算」といいます。私の研究の主なテーマは、微分方程式（偏微分方程式, 遅延微分方程式, 常微分方程式）に対する解の精度保証付き数値計算法の開発です。物理、化学、生物などの諸分野における多くの現象は微分方程式で記述されることが多く、これを解く事が求められます。しかし、微分方程式を厳密に解くことは多くの場合大変難しいです。微分方程式の解を求める場合、まず方程式の近似を考え、得られた近似解を指針にもとの解を得る方法が一般的に考えられます。私の研究では、方程式を解く指針として数値計算で得られた近似解をとり、その近傍に解が一意存在することを数値計算によって検証します。これにより厳密に解く事が難しい問題も精度保証付き数値計算を用いる事で解の存在を証明できるようになります。
これまでの過去 30 年あまりで、多くの研究者が特に偏微分方程式に対する解の精度保証付き数値計算法の開発に尽力され、線形・非線形楕円型偏微分方程式に対する数値解の検証が可能となりました。私は偏微分方程式の解を数値計算する強力な手法である有限要素法をもとに、任意多角形領域上に定義された半線形楕円型偏微分方程式に容易に対応できる手法を開発し、より多様な問題を精度保証付き数値計算できるようにしました。
さらに数理解析学における半群理論（解析半群および発展作用素）を用いた放物型方程式の初期値境界値問題に対する解の精度保証付き数値計算手法を開発し、数理解析理論と精度保証付き数値計算の効果的な融合成果として計算機援用証明の研究に従事しています。また特異点解消理論と力学系のアプローチによる常微分方程式の爆発解の検証理論も構築しました。最近の興味はスペクトル法を用いた遅延微分方程式、一般的な（放物型・双曲型・分散型）偏微分方程式に対する解の精度保証付き数値計算方法の確立と無限次元力学系における計算機援用証明です。
最近の研究
- 放物型偏微分方程式の初期値境界値問題の解に対する精度保証付き数値計算
- 常微分方程式に対する爆発時刻の解明とプロファイルの精度保証付き数値計算
- 双曲型偏微分方程式に対する解の精度保証付き数値計算
- 遅延微分方程式の周期解および初期値問題の解に対する精度保証付き数値計算
- 無限次元力学系における計算機援用証明
- 複素超幾何微分方程式のモノドロミー行列の精度保証付き数値計算
招待講演・チュートリアル・セミナー
- 二次非線形性を持つ複素数値発展方程式のヘテロクリニック軌道と特異性の計算機援用証明, 第67回拡大MCMEセミナー One day workshop on differential equations in the complex domain, 武蔵野⼤学 有明キャンパス (2024/2/21).
- 遅延微分方程式系の周期解の数値的存在証明, 第3回微分方程式セミナー, お茶の水女子大学 (2023/7/26).
- 二次非線形性を持つ複素数値発展方程式の大域的なダイナミクスの計算機援用証明, 秋田発展方程式小研究集会, 秋田大学 手形キャンパス (2023/7/8).
- 時間発展方程式に対する厳密な数値求積法の最近の進展, RIMS 共同研究（公開型）数値解析が拓く次世代情報社会～エッジから富岳まで～, 京都大学 益川ホール (2022/10/14).
- A general approach for rigorously integrating PDEs using semigroup theory, CRM Applied Mathematics Seminars, McGill University, Canada (2022/9/27).
- Julia言語を用いた精度保証付き数値計算の実践, 第5回 精度保証付き数値計算の実問題への応用研究集会 (NVR 2021), online (2021/11/28). (講演資料)
- Global dynamics in nonconservative nonlinear Schrödinger equations, 京都大学 NLPDE セミナー, オンライン (2021/5/14).
- 非線形熱方程式の複素時間領域における解の精度保証付き数値計算, 数値解析セミナー（東京大学大学院 数理科学研究科／情報理工学系研究科）, オンライン (2021/4/27).
- 遅延微分方程式に対する精度保証付き数値計算ー現状と課題ー, 第2回 時間遅れと数理セミナー, online (2021/1/25).
- Global dynamics in a quadratic nonlinear Schrödinger equation, 第4回 精度保証付き数値計算の実問題への応用研究集会 (NVR 2020), online (2020/11/29).
- Computer-assisted proofs for finding the monodromy of hypergeometric differential equations, 16th Seminar Series of CRM CAMP in Nonlinear Analysis, online (2020/10/6). (Lecture Video)
- Computer-assisted proofs for a nonlinear heat equation in the complex plane of time, CRM Applied Mathematics Seminars, McGill University, Canada (2019/9/16).
- Global existence of a solution for the nonlinear heat equation in the complex plane of time, RIMS 共同研究 (公開型)「偏微分方程式の臨界現象と正則性理論及び漸近解析」, 京都大学数理解析研究所 (2019/5/29).
- Rigorous integrator for nonlinear heat equations in the complex plane of time using semigroup theory, Workshop: Rigorous Computational Dynamics in Infinite Dimensions, Montreal, Canada (2019/4/4).
- 非線形熱方程式の複素時間領域における解の挙動と精度保証付き数値計算, 千葉大学解析セミナー, 千葉大学西千葉キャンパス (2019/2/12).
- 精度保証付き数値計算を利用する偏微分方程式の解の数値的検証法, 第3回RCMSサロン「精度保証付き数値計算の有用性」, 筑波大学筑波キャンパス (2018/12/12).
- 非線形熱方程式の複素時間における解の精度保証付き数値計算, 京都大学数理解析研究所RIMS研究集会「次世代の科学技術を支える数値解析学の基盤整備と応用展開」, 京都大学数理解析研究所 (2018/11/16).
- 非線形熱方程式の複素時間における解の挙動：精度保証付き数値計算によるアプローチ, 大分微分方程式研究集会, サテライトキャンパス大分, 大分県大分市 (2018/9/23).
- 非線形方程式の精度保証付き数値解法, 「精度保証付き数値計算の基礎」チュートリアル, 早稲田大学国際会議場 (2018/9/10). (講演スライド)
- 半群理論を利用する発展方程式に対する解の精度保証付き数値計算, 日本数学会2018年度年会, 東京大学駒場キャンパス (2018/3/21). (講演アブストラクト)
- 非線形熱方程式の複素時間における解の挙動と精度保証付き数値計算, 第1回 精度保証付き数値計算の実問題への応用研究集会 (NVR 2017), 西日本総合展示場 (2017/12/10).
- Verified computations for solutions to 1-dimensional advection equations with variable coefficients, Dagstuhl Seminar 17481, Wadern, Germany (2017/11/27).
- 常微分方程式系に対する爆発解の精度保証付き数値計算, 東大数理情報第3研究室輪講, 東京大学 本郷キャンパス (2017/10/18).
- 擬斉次コンパクト化を利用する爆発解の数値的検証理論と応用, 筑波大学エネルギー環境学域懇談会, 筑波大学 筑波キャンパス (2017/9/26).
- Rigorous numerical computations for 1-dimensional advection equations with variable coefficients, Workshop for young scholars Control and inverse problems on waves, oscillations and flows - Mathematical analysis and computational methods -, Imadegawa Campus, Doshisha University (2017/8/21).
- 放物型方程式の初期値問題に対する精度保証付き数値計算法について, 非線形現象と高精度高品質数値解析, 富山大学五福キャンパス (2017/2/15).
- 非線形方程式に対する解の精度保証付き数値計算, 日本応用数理学会３部会連携「応用数理セミナー」, 東京大学本郷キャンパス (2016/12/27). (講演スライド)
- 常微分方程式の爆発解に対する数値的検証法, 日本学術会議 第6回 計算力学シンポジウム, 日本学術会議講堂 (2016/12/5).
- 発展作用素に基づく非線形熱方程式に対する解の精度保証付き数値計算法, 東京理科大学 理工学部数学科 談話会, 東京理科大学野田キャンパス (2016/10/27).
- 間違える数値計算とその対策, 第144回リスク工学研究会（RERM）, 筑波大学筑波キャンパス (2016/5/16).
- 常微分方程式の爆発解に対する数値的検証法について, 応用数学セミナー@芝浦工大「爆発問題の数値解析」, 芝浦工業大学大宮キャンパス (2016/3/7).
- 発展作用素を用いた半線形放物型方程式に対する解の精度保証付き数値計算法, RIMS研究集会「現象解明に向けた数値解析学の新展開」, 京都大学数理解析研究所 (2015/11/19).
- 解析半群を利用した半線形放物型方程式に対する解の精度保証付き数値計算法, 数値解析セミナー（東大）, 東京大学 駒場キャンパス (2015/4/27).
- 解析半群を用いた半線形放物型方程式の解に対する精度保証付き数値計算法とその応用, 第3回 数理人セミナー, 早稲田大学西早稲田キャンパス (2015/1/15).
- 半線形放物型方程式の初期値境界値問題に対する精度保証付き数値計算法, 芝浦工業大学 数理科学科 談話会, 芝浦工業大学大宮キャンパス (2014/7/1).
- 任意多角形領域上の半線形偏微分方程式に対する精度保証付き数値計算, 第20回岐阜数理科学セミナー, 岐阜大学 (2012/11/30).
- 任意多角形領域上における非線形楕円型境界値問題に対する精度保証付き数値計算法, 第7回「数理科学セミナー」, 一橋大学 国立キャンパス (2012/4/18).
- 「精度保証付き数値計算の応用（２）」 - 精度保証付き数値計算による偏微分方程式の解の数値的検証法 - , 日本応用数理学会３部会連携「応用数理セミナー」, 早稲田大学 西早稲田キャンパス (2011/12/27).
- 楕円型非線形偏微分方程式のDirichlet境界値問題に対する精度保証付き数値計算法, 数値解析セミナー（東大）, 東京大学 駒場キャンパス (2010/12/7).