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Codes of ``Rigorous numerics for nonlinear heat equations in the complex plane of time'' by A. Takayasu, J.-P. Lessard, J. Jaquette, and H. Okamoto
In this paper, we introduce a method for computing rigorous local inclusions of solutions of Cauchy problems for nonlinear heat equations for complex time values. Using a solution map operator, we construct a simplified Newton operator and show that it has a unique fixed point. The fixed point together with its rigorous bounds provides the local inclusion of the solution of the Cauchy problem. The local inclusion technique is then applied iteratively to compute solutions over long time intervals. This technique is used to prove the existence of a branching singularity in the nonlinear heat equation. Finally, we introduce an approach based on the Lyapunov-Perron method to calculate part of a center-stable manifold and prove that an open set of solutions of the Cauchy problem converge to zero, hence yielding the global existence of the solutions in the complex plane of time.
All computations are carried out on Windows 10, Intel® Core™ i7-6700K CPU @ 4.00GHz, and MATLAB 2019a with INTLAB - INTerval LABoratory version 11 and Chebfun - numerical computing with functions version 5.7.0.
% One should addpath of Chebfun toolbox and INTLAB, e.g., % addpath('chebfun-master/') % addpath('Intlab/') addpath('verify_solution/') addpath('verify_defect/') addpath('variational_problem/')
Proof of Theorem 1.1
script_proof_upper_bound_blowup % uncomment when you execute the proof of Theorem 1.1 script_proof_lower_bound_blowup % uncomment when you execute the proof of Theorem 1.1
script_plot_fig3 script_plot_fig4
警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 4.9996e-09 delta_tail = 2.3682e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 3.4338e-09 delta_tail = 2.7702e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 2.3773e-09 delta_tail = 2.7753e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 5.0276e-09 delta_tail = 2.9523e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 2.2385e-09 delta_tail = 3.054e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 2.0529e-09 delta_tail = 3.3859e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 4.2435e-09 delta_tail = 3.7384e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 4.5579e-09 delta_tail = 3.4654e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 3.4318e-09 delta_tail = 3.6224e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 3.7744e-09 delta_tail = 3.6499e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 3.0624e-09 delta_tail = 3.4522e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 2.5449e-09 delta_tail = 3.137e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 2.7682e-09 delta_tail = 3.1885e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 3.9252e-09 delta_tail = 2.654e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 2.7975e-09 delta_tail = 2.385e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 3.3221e-09 delta_tail = 2.4073e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 2.8816e-09 delta_tail = 2.5245e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 3.2257e-09 delta_tail = 2.7661e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 2.838e-09 delta_tail = 3.0174e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 2.8135e-09 delta_tail = 3.3941e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 4.7298e-09 delta_tail = 4.1007e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 4.8379e-09 delta_tail = 4.967e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 6.586e-09 delta_tail = 6.88e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 8.1338e-09 delta_tail = 8.8874e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 1.3765e-08 delta_tail = 9.2503e-11 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 3.3644e-08 delta_tail = 1.2871e-10 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 2.136e-08 delta_tail = 2.2443e-10 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 5.89e-08 delta_tail = 6.2129e-09 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 6.7706e-07 delta_tail = 1.3077e-06 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 1.1892e-05 delta_tail = 0.00047158 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 0.00013959 delta_tail = 0.12973 警告: RelTol は 2.22045e-14 に増加しました。 delta_N = 0.00094664 delta_tail = 11.2216
Proof of Theorem 1.2
script_proof_of_GE_60 % uncomment when you execute the proof of Global existence (GE) in the case of \theta = 60 script_proof_of_GE_45 % uncomment when you execute the proof of Global existence (GE) in the case of \theta = 45 script_proof_of_GE_30 % uncomment when you execute the proof of Global existence (GE) in the case of \theta = 30 script_proof_of_GE_15 % uncomment when you execute the proof of Global existence (GE) in the case of \theta = 15
script_plot_fig5
